[백준] 스타트와 링크(14889)

스타트와 링크(14889번)

문제

오늘은 스타트링크에 다니는 사람들이 모여서 축구를 해보려고 한다. 축구는 평일 오후에 하고 의무 참석도 아니다. 축구를 하기 위해 모인 사람은 총 N명이고 신기하게도 N은 짝수이다. 이제 N/2명으로 이루어진 스타트 팀과 링크 팀으로 사람들을 나눠야 한다.

 

BOJ를 운영하는 회사 답게 사람에게 번호를 1부터 N까지로 배정했고, 아래와 같은 능력치를 조사했다. 능력치 Sij는 i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치이다. 팀의 능력치는 팀에 속한 모든 쌍의 능력치 Sij의 합이다. Sij는 Sji와 다를 수도 있으며, i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치는 Sij와 Sji이다.

 

N=4이고, S가 아래와 같은 경우를 살펴보자.

i\j  1    2    3    4
1         1    2    3
2    4         5    6
3    7    1         2
4    3    4    5     

예를 들어, 1, 2번이 스타트 팀, 3, 4번이 링크 팀에 속한 경우에 두 팀의 능력치는 아래와 같다.

• 스타트 팀: S12 + S21 = 1 + 4 = 5
• 링크 팀: S34 + S43 = 2 + 5 = 7

1, 3번이 스타트 팀, 2, 4번이 링크 팀에 속하면, 두 팀의 능력치는 아래와 같다.

• 스타트 팀: S13 + S31 = 2 + 7 = 9
• 링크 팀: S24 + S42 = 6 + 4 = 10

축구를 재미있게 하기 위해서 스타트 팀의 능력치와 링크 팀의 능력치의 차이를 최소로 하려고 한다. 위의 예제와 같은 경우에는 1, 4번이 스타트 팀, 2, 3번 팀이 링크 팀에 속하면 스타트 팀의 능력치는 6, 링크 팀의 능력치는 6이 되어서 차이가 0이 되고 이 값이 최소이다.

입력

첫째 줄에 N(4 ≤ N ≤ 20, N은 짝수)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 S가 주어진다. 각 줄은 N개의 수로 이루어져 있고, i번 줄의 j번째 수는 Sij 이다. Sii는 항상 0이고, 나머지 Sij는 1보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다.

풀이

브루트포스 문제이다. 먼저, 총 N명을 반으로 나눠 2팀을 만들어야 한다. 뽑았는지, 안뽑았는지 상태값을 의미하는 used라는 1차원 배열을 선언한다. 이후, 재귀함수를 돌면서 뽑은 인원이 2/N이 되면 2팀이 결정되므로, 각 팀마다 능력치의 합산 차이를 구해주면 된다.

 

시간 복잡도를 구해보자.

 

• n명중 반을 뽑는 경우의 수 : nCn/2
• 뽑은 인원을 각 팀 배열에 저장 : n
• 각 팀의 능력치를 구하는 2중 for문 : (n/2)^2

따라서, O(nCn/2(n+(n/2)^2))의 시간복잡도를 가진다. 이때, 최대 n의 값이 20이므로, 18만(20C10)120 = 2200만이 된다. 이는 시간 내에 해결할 수 있다.

 

여기서! 시간을 더 줄일 수 있는 방법이 있다. n명 중 반을 뽑는 경우의 수 중에 중복되는 부분을 제거해주면 된다. n명 중 반을 뽑으면, 나머지 반은 굳이 뽑을 필요가 없다. (자동 팀이 완성 되므로) 불필요한 연산을 줄이도록하자.

 

예로, 1,2,3,4의 팀원 중 2팀을 나눌때 경우의 수는 다음과 같다.

1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

여기서 중복되는 부분이 보이지 않는가? 내가 만약 1,2(첫 번째 경우)를 한 팀으로 뽑았다면, 자동으로 3,4가 팀으로 이루어지게 된다. 그런데 맨 밑에 보면 3,4를 또 뽑고 있다. 중복되는 것이다. 이를 해결하려면 1은 무조건 뽑아놓고 나머지를 2,3,4 중에 하나면 고르도록 하면 된다.

1 2
1 3
1 4

이렇게 말이다.

그러면 전체 시간을 절반으로 줄일 수 있다. (실제 40ms -> 20ms)

C++ 소스코드

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int N, half, ans = 2e9;
int arr[21][21], a[11], b[11];
bool used[21];

void divide(int cnt, int idx) {
    //각각 a,b팀 배열에 해당하는 팀 번호를 저장한다.
    if (cnt == half) {
        int aSum = 0, bSum = 0, aSize = 0, bSize=0;
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            if (used[i]) {
                a[aSize++] = i;
            }
            else b[bSize++] = i;
        }

        //a팀의 합산, b팀의 합산을 구한다.
        for (int i = 0; i < half; i++) {
            for (int j = 0; j < half; j++) {
                if (i == j) continue;
                aSum += arr[a[i]][a[j]];
                bSum += arr[b[i]][b[j]];
            }
        }

        int diff = abs(aSum - bSum);
        ans = ans > diff ? diff : ans;
        return;
    }

    for (int i = idx; i <= N; i++) {
        if (!used[i]) {
            used[i] = true;
            divide(cnt + 1, i + 1);
            used[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &N);
    half = N / 2;

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= N; j++) {
            scanf("%d", &arr[i][j]);
        }
    }
    used[1] = true;    //1을 먼저 선택하고, 나머지 경우의 수만 구하면 전체 경우의 수의 절반이 된다.
    divide(1, 2);    //팀 나누기
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

부족한 부분

재귀, 백트래킹